软件开发资讯 【最好意思的公式】你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）
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在上一篇著作 里， 长尾科技带着人人从零运行一步一步意志了 麦克斯韦方程组的 积分方法，这篇著作咱们就来望望它的 微分方法。在 积分篇里，咱们一直在跟电场、磁场的 通量打交谈。咱们纵情画一个曲面，这个曲面不错是闭合的，也不错不是，然后咱们让电场线、磁感线穿过这些曲面，它们就两两聚拢造成了 四个积分方法的方程组。从这里咱们能嗅觉到： 麦克斯韦方程组的积分方法是从宏不雅角度来描写问题，这些曲面王人是宏不雅可见的东西。那么 微分方法呢？微分方法似乎应该从 微不雅角度去看问题，那么咱们要如何把 曲面、 通量这些宏不雅上的东西弄到微不雅里来呢？
一个很大致的想法便是： 我让宏不雅上的东西收缩收缩，直到收缩成一个点，这样不就插足微不雅了么？ 积分方法的麦克斯韦方程组需要采选一个 曲面，然而它并莫得禁止这个 曲面的大小，我不错把这个曲面选得很大，也不错选得 很小。 当你把这个曲面选得很小很小的技巧，麦克斯韦方程组的积分方法就天然变成了微分方法。是以，微分方法的基本念念想照旧很大致的，它信得过阻拦的地点是在于 如何寻找一种粗浅的野心方式，这些我背面会细说。
因为微分方法和积分方法的这种 贯串关系，我提倡人人尽量先望望 的内容。在积分篇里，我是 从零运行讲电磁学，讲麦克斯韦方程组，是以阅读起来不会有什么门槛。然而到了微分篇，上篇著作一经详备说了一些东西（诸如 电场、 通量、 环流等主张）这里就不会再细说了。长尾君不会从天而下地抛出一个东西，要是在这篇著作里遭遇了什么难以交融的东西，不错望望是不是在积分篇里一经说过了~
好，底下插足正题。在 里我跟人人讲过，麦克斯韦方程组所有有 四个方程，差异描写了 静电（高斯电场定律）、 静磁（高斯磁场定律）、 磁生电（法拉第定律）、 电生磁（安培-麦克斯韦定律）。这四个方程各有 积分和 微分两种方法，积分方法咱们上篇一经说过了， 微分方法咱们照旧按照礼貌，也从 静电运行。
01微分方法的静电
在 积分篇里，咱们是这样描写 静电的：我在空间里 纵情画一个 闭合曲面，那么 通过闭合曲面的电场线的数目（电通量）就跟这个曲面包含的电荷量成正比。用公式表述便是这样：
这便是 积分方法的 高斯电场定律：左边暗意 通过闭合曲面S的电通量（ E是电场强度，咱们把面积为S的闭合曲面分割成许多小块，每一个小块用da暗意，那么通过每一个小块面积的电通量就不错写成 E·da。套上一个 积分记号就暗意把通盘小块的 电通量累加起来，这样就取得了 通过整个闭合曲面S的电通量），右边阿谁带了 enc下标的 Q就暗意 闭合曲面包含的电荷量，ε0是个常数。这些内容我在积分篇里王人详备说过了，这里不再多言。
底下是要点： 因为这个闭合曲面S是不错任何登科的，它不错大不错小，不错是球面也不错是多样前合后仰的闭合曲面。那么咱们就不妨来学习一下孙悟空，变小变小再变小，我让这个闭合曲面也一直收缩收缩，收缩到无尽小，那么这技巧高斯电场定律会变成什么样呢？
这里会波及一丢丢 极限的主张，咱们这样斟酌： 一个闭合曲面收缩到无尽小，其实便是它的名义积或者体积无限趋向于0。也便是说，我假定有一个球的体积为ΔV，然后让这个ΔV无限趋近于0，那这样就不错暗意这个球 收缩到无尽小了。用数学记号不错记成这样：
Lim便是英文单词 极限（ limit）的缩写， ΔV通过一个箭头指向0不错很形象的暗意它 无限趋近于0。有了这个极限的主张，咱们就不错很天然的暗意 通过这个无尽小曲面的电通量了（平直在电通量的前边加个极限记号），这技巧 高斯电场定律就成了这样：
这样，咱们就把 高斯电场定律从 宏不雅拉到了 微不雅：方程的 左边暗意曲面收缩到无尽小时的 电通量，方程的 右边暗意无尽小曲面包含的 电荷量。然而，当曲面收缩到无尽小的技巧，咱们再使用 电荷量Q就分歧适了，是以咱们改用 电荷密度（记号为ρ）。 电荷密度，从名字里咱们就能猜出它暗意的是 单元体积内包含电荷量的大小，是以它的抒发式应该是用 电荷量除以 体积，即： ρ=Q/V。
是以，要是咱们把微不雅的高斯电场定律左右双方王人 同期除以体积ΔV，那么右边的 电荷量Q除以 体积Δ就变成了 电荷密度ρ，左边咱们也再除以一个ΔV，那么公式就变成了底下这样：
公式的右边除以一个体积ΔV，就成了 电荷密度ρ除以 真空介电常数ε0，那左边呢？左边底本是 通过无尽小曲面的电通量，这玩意除以一个 体积ΔV之后暗意什么呢？这一长串的东西，咱们给它取了个新名字： 散度。
也便是说， 电场E在一个点（被无尽小曲面围着的这个点）上的散度被界说为电场通过这个无尽小曲面的电通量除以体积。 散度的英文单词是 divergence，是以咱们通常就用 div(E)暗意 电场E的 散度，即：
是以， 高斯电场定律的 微分方法就不错暗意成这样：
它告诉咱们： 电场在某点的散度跟该点的电荷密度成正比。
然后呢？然后微分篇的第一个方程就这样说收场？这只不外把 高斯电场定律积分方法的 曲面收缩到了无尽小，然后 双方同期除了一个体积，右边凑出了一个电荷密度，左边巴拉巴拉凑出一大堆东西你告诉我这个新东西叫 散度就完事了？不带这样玩的！那这个 散度到底有什么物理风趣？我要如何去野心具体的散度（你用无尽小通量去界说散度倒是好界说，然而这样野心可就阻拦了）？还有，许多东谈主多若干少知谈一些麦克斯韦方程组的样貌，天然不是很懂，阿谁 倒三角记号▽倒照旧谨记的，你这公式里为什么莫得▽记号呢？
02初入江湖的▽
没错，咱们用 无尽小曲面的通量和体积的比值来界说 散度，这样界说是为了隆起它跟 通量之间的操办，也粗浅人人从积分的念念维天然的滚动到微分的念念维中来。然而，这种界说 在具体野心的技巧是没什么用的，咱们不和会往常野心无尽小曲面的通量和体积的比值来野心一个点的散度，因为这样真的是 太阻拦了。 咱们有种更大致的方式来野心电场在某个点的散度，而这种格式，就会使用到咱们熟练的 倒三角▽记号。
在这种新的暗意格式里， 电场E的 散度不错被写成这样： ▽·E，是以咱们就不错用这个东西替换掉方程左边 div(E)，那么 麦克斯韦方程组的 第一个方程——描写 静电的 高斯电场定律的 微分方法就不错写成这样：
这样写的话，是不是就嗅觉熟练多了？也便是说，相通是为了暗意散度，咱们用 ▽·E代替了代替了底本 无尽小曲面通量和体积比值那么一大串的东西。况兼这样还荒谬好野心，使用这种新的方式，你只须给出一个电场，我分分钟就不错把电场的散度写出来。这种倒三角▽记号，透顶是 记号简化史上的遗址。
是以，我接下来的责任，或者说交融麦克斯韦方程组的 微分方法的 中枢内容，便是要来告诉人人 这个倒三角▽记号到底是什么风趣，▽·（背面加了一个点）又是什么风趣？为什么▽·E不错暗意电场E的散度就？为什么▽·E跟咱们前边散度的界说div（E）是等价的？也便是说：
为什么上头的式子是相等的， 况兼王人不错用来暗意电场E的散度？
这便是我在开篇说的： 微分方法的基本念念想照旧很大致的，它信得过阻拦的地点在于如何寻找一种粗浅野心的方式，这种粗浅的野心方式天然便是▽。那么咱们接下来就先把电磁关系的物理内容 放置一旁，先通盘来看一看这个 据说记号▽的前世今生，交融了它，你就交融了 麦克斯韦方程组的 微分方法的 精髓。
03从导数提及
要交融▽，咱们照旧得先 再来看一看这个 推测事物变化快慢的主张： 导数。说“再”是因为咱们在积分篇里一经讲过了： 法拉第发现了 电磁感应，发现 变化的磁场能产生电场，况兼磁场变化得越快，产生的电场越大。这里咱们就需要这样一个量来描写 磁场变化的快慢，只不外其时咱们莫得伸开说。
我照旧借用上篇 身高的例子来望望咱们是如何 描写变化的快慢的。一个东谈主在十二三岁的技巧一年不错长10厘米，咱们说他这技巧长得 快；到了十七八岁的技巧可能一年就只可长1厘米，咱们就说他长得 慢。也便是说，咱们推测一个量（这里便是 身高，假定身高用 y暗意）变化快慢的格式是： 给定一个变化的技巧dt（比如一年，或者更小），望望这个量的变化Δy是若干，要是这个量的变化很大咱们就说它变化得很快，软件开发价格反之则变化得慢。
在这里，我稍稍证实一下 Δy和 dy的区别：如下图所示，咱们假定函数在x轴上有一个增量Δx，这个用Δx或者dx暗意王人一样，两者相等。然而，这个在x轴上的变化带来的y轴上的变化就不一样了： Δy暗意的是y轴 骨子的变化量，是我用 前后两个不同的x对应的y值平直相减取得的真实效果；而 dy则不是， dy是咱们在M点作念了一条 切线，然后我用这条 直线来代替弧线，当x轴上变化了Δx的技巧这条 直线上对应y上的变化。
从这个图里咱们不错看到： Δy的值是要比 dy大少许点的，然而跟着Δx或者dx的减小，它们的之间的差值会 急速减小，比Δx减小的快得多，这个 差值亦然咱们常说的 高阶无尽小。 Δy叫作念函数从少许到另少许的 增量，而 dy则被叫作念函数的 微分，或者叫它的 线性主部。 “以直（dy）代曲(Δy)”是当代微积分的一个中枢念念想，从这个图里可见一斑。
在微积分刚创立的技巧， 莱布尼茨把 dx看作一个接近0但又不等于0的 无尽小量，这种“ 朴素”的念念维很安妥直观，况兼用这种念念想来野心也没什么错，然而它的基础短长常不安靖的。恰是这种阴灵般的 无尽小量dx（ 时而不错看作是0，时而不错当除数约分）导致了 第二次数学危急，数学家们过程一个多世纪的抢救才给微积分找到了一个坚实的地基： 极限表面。
这段内容不是太交融 不枢纽，只须知谈咱们不错用 dy/dx暗意函数在M点的 导数（在这里便是切线的 斜率），不错用它来暗意图像在这里 变化的快慢就行了。
再回到东谈主的身高随年级变化的这个例子里来。东谈主在各个年级t王人会对应一个身高y，这每个（t,y）就对应了图上的一个点，把这些点完全连起来约莫就能取得这样一个图：
在 导数dy/dt大的地点，图形里的斜率很大，通俗的说便是弧线很陡峻；而导数很小的地点，对应的弧线就很舒缓。
在这个例子里，身高y是跟着年级t变化而变化，也便是说 给定任何一个t的值，王人有一个y的值跟它对应，咱们就不错说身高y是一个对于年级t的 函数（ function），记作念 y=f(t)。这个 f天然便是函数的英文单词 function的缩写，函数便是这样一种 对应（映射）关系。在这里，身高y的值只跟年级t 一个变量关系，咱们就说这是一个 一元函数。然而，要是咱们的问题稍稍复杂一些，我的某个量不啻跟一个量联系，而是跟多个量联系呢？
04多个变量的偏导数
比如山的高度，一座山在不同点的高度是不一样的，而在大地上折服一个点的位置需要 经度和 纬度两个信息。或者，你不错我方在大地上配置一个坐标系，然后大地上每一个点王人不错用 （x,y）来暗意。因为每一个位置（x,y）王人对应了阿谁地点山的高度z，那么z就成了一个对于x和y的函数，记作念 z=f(x,y)。因为山的高度z需要 两个变量x和y才气折服，是以咱们说 z=f(x,y)是一个 二元函数。
再举例，我房间的每一个点王人有一个温度，是以房间的温度T是一个对于房间内空间点的函数，而房间里每一个点的位置需要长宽高三个变量（x,y,z）才气折服。是以，我房间里的温度T是一个对于x,y,z的 三元函数，记作念 T=f(x,y,z)。
咱们再往还及其来望望 导数，在 一元函数y=f(t)里，咱们用 dy/dt来暗意这个函数的导数，导数越大的地点弧线变化得越快。因为一元函数的图像是一条弧线， 弧线上的一个点唯唯一个标的（要么往前，要么往后，归正王人是沿着x轴标的），是以咱们不错平直用 dy/dt暗意函数变化得有多快。然而，要是这个函数不是一元函数，而是二元、三元等 多元函数呢？
比如山的高度 z是对于位置 x,y的 二元函数z=f(x,y)，这技巧大地上的每一个点（x,y）王人对应一个值，它的函数图像便是一个 曲面（如山的名义），而不再是一条 弧线。而曲面上的每一个点有 多数个标的（前后左右360°王人不错），x和y仅仅这多数标的中的 两个，那咱们要如何把捏这多数个方朝上的高度变化快慢呢？
天然，咱们不能能把这多数个标的王人逐一找出来，也没这个必要。一个平面上有多数个点，然而我只用x和y这两个标的构成的（x,y）就不错暗意通盘的点。相通的，天然在函数曲面上的少许有多数个标的，不同标的函数变化的快慢王人不一样的，然而咱们只须把捏了其中的两个，就能把捏许多信息。
那么咱们要如何暗意函数z沿着x轴标的变化的快慢呢？平直用dz/dx么？好像不太对，因为咱们的z是一个对于x和y的二元函数，它的变量有两个，你这样平直dz/dx合适么？正当么？然而， 要是我在斟酌x轴标的的技巧，把y看作一个常数，也便是把y轴固定住，这样函数z就只跟x关系了，于是咱们就把一个 二元函数（曲面）变成了一个 一元函数（弧线）。
如上图所示，当咱们固定 y=1的技巧，这个曲面就被这个y=1的平面切成了两半，而 平面与曲面相交的地点就出现了一条弧线。这条弧线其实便是当我固定y=1的技巧，函数z的图像，只不外这技巧z只跟x一个变量联系，是以它变成了一个一元函数。于是，咱们就不错仿照 一元函数的格式界说 导数了，也便是说： 咱们在z=f(x,y)上无法平直界说导数，然而要是咱们把y固定起来了，这技巧二元函数的曲面就变成了一元函数的弧线，那么咱们就在弧线上界说导数了。这种把y的值固定在某个地点，然后野心函数在x轴方朝上的导数，叫作对于x的 偏导数，记作念 ∂z/∂x。相通，要是咱们把x的值固定，野心函数在y轴方朝上的导数，那天然便是对于y的 偏导数，记作念 ∂z/∂y。
05全微分
小程序开发有了 偏导数的主张，咱们就有想法写出 dz和 dx、 dy之间的关系了。在一元函数里，导数是dy、dt，咱们天然就不错写出dy和dt之间的关系：
那么，到了二元函数 z=f(x,y)的技巧呢？咱们联想有个东谈主在山的少许要往另少许爬，咱们让他先沿着x轴的标的爬（也便是固定住y的值），假定他沿x轴转移了dx。左证上头偏导数的界说， 要是咱们把y 的值固定了，那么他在x轴方朝上的导数是不错用偏导数∂z/∂x来暗意，那么在他沿着x轴转移的技巧，他高潮的高度就不错写成（ ∂z/∂x）·dx 。相通，接下来他沿着y轴标的走的技巧，他高潮的高度就不错写成（ ∂z/∂y）·dy。咱们把 这两个部分高潮的高度加起来，不就取得了最终爬山的高度变化 dz的了么？也便是说：
这个公式咱们不错把它作念作 全微分定理，它其实是对上头一元函数导数关系的一个天然践诺。它告诉咱们， 天然在曲面的一个点上有多数个标的，然而只须咱们掌捏了其中x和y两个方朝上的偏导数，咱们就能把捏它的函数变化dz。规复到爬山的这个例子上来，这个公式是在告诉咱们：要是我知谈你沿着x轴和y轴差异走了若干，然后我知谈你这座山在x轴和y轴标的的歪斜度（即偏导数）是若干，那我就知谈你爬山的纯高度变化有若干（又是几近大妄言~）。
咱们费了这样多劲就为了推出这个公式，那么这个公式里折服荫藏了什么蹙迫的东西。不外，目下这种方法还拦阻易看清晰，咱们还得稍稍了解少许 矢量分析的内容，把公式拆成 矢量点乘的方法，那就昭着了。
06再谈矢量点乘
对于矢量点乘的事情，我在 的 第六节就一经说过一次了，因为电场的 通量Φ便是 电场E和 面积a的点乘： Φ=E·a。因为 矢量是 既有大小又有标的的量，而咱们小技巧学习的乘法它只管大小无论标的，是以两个矢量之间就得重新界说一套乘法章程，而最常见的便是 点乘（记号为‘·’）。
两个矢量 OA、 OB的 点乘被界说为： OA· OB=|OA软件开发资讯