长文预警！
由于行文时辰匆促，手头尊府不够。部分题目是来自网友商量，部分题目来自搜索，解答完后发现个别例子并不太匹配主题，但解答不易，也就没删除了，敬请甄别。
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配景学问初中几何中的最值问题，归根结底，最终无非退换成如下两种类型：
两点之间直线段最短点线之间垂线最短最终线段长度的求取，无非等于利用了相似或全等，用勾股定理、三角函数、面积等方式将长度求出来。
而为了教养全球的解题效力，诸位前辈淳厚们回顾了好多模子。
将军饮马胡不归费马点阿氏圆瓜豆旨趣其他将军饮马将军饮马的本色是“两定一动”问题，解答的要道是要找到两个定点，然后凭证动点地方直线轨迹，对其中一个定点作出其对称点，然后控制“两点之间直线段最短”之类的基快乐趣就将最值简化为对称点和另一个定点的距离。
胡不归胡不归模子和将军饮马访佛，本色上仅仅某线段增多了一个所有，形如PA+k·PB，咱们需要利用正弦或其他工夫将其退换成PA+PC神志。
对于r·PA+r·k·PB类，咱们不错将其退换成r·(PA+k·PB)神志，这里的k一般小于1，这么才气利用三角函数来退换。
阿氏圆胡不归模子和将军饮马模子，本色上是动点在线段上挪动，如若动点在圆上挪动，咱们就可接头用阿氏圆来退换。
阿氏圆的一般会波及到若干个定点，需要咱们利用阿氏圆的性质去阐述未知的定点，然后将带所有的线段退换成不带所有的线段。
「阿氏圆的界说」
平面中到两定点的距离之比为K(k≠1)扫数点的聚首。
这个咱们一般联结表里角的角瓜分线定理来解释。
咱们不错借助于阿氏圆，将带所有的PA+k·PB最值问题退换为常见的PA+PC问题。
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图1在现实应用中，咱们一般凭证P点的通顺轨迹细则直径MN，粗心凭证相似三角形细则B点的位置，也有可能凭证角瓜分线来细则B点的位置。
费马点费马点的本色等于求一个动点到三个定点的距离之和，通过将某个三角形旋转60°，从而将三条线段归集到一个方进取。
瓜豆模子瓜豆模子波及主动点和从动点，主动点的挪动激发了从动点的挪动。如若主动点沿着直线挪动，则从动点也会沿着直线挪动，如若从动点沿着圆挪动，则从动点也会沿着圆挪动。种瓜得瓜，种豆得豆，这么就被诸位前辈淳厚们形象地回顾成瓜豆模子。
如若从动点按直线挪动，那咱们就寻找一个比较容易细则的运转点，将从动点的轨迹快速画图出来。
如若从动点按圆挪动，那么咱们就要找到圆心、半径之类的。
瓜豆模子本色上是「旋转相似」的应用，咱们要找准旋转点，旋转的角度和旋转的比例。如若旋转比例是1:1，那咱们就可构造出全等三角形，如若不是1:1，那就要构造出相似三角形。
隐圆模子题目中莫得提到圆，但凭证传统的圆的学问，咱们不错找到圆。
此类模子比较常见，传统的和圆关系的学问有：
定点定长直径对直角定边对定角对角互补托勒密逆定理弦切角等于圆周角垂径过圆心同弧圆周角是圆心角的一半相交弦定理切割线定理……将军饮马模子示例1❝在三角形ABC中，∠A=60°，∠C=75°，AB=10，D、E、F诀别是边AB、BC、CA上的动点，求三角形DEF的周长的最小值。
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图2❞解题流程依题意，D、E、F是三个动点，咱们先假定E是定点，然后交替作念出E点对于AB和AC的对称点来。
如下图所示，咱们和洽DE₁、FE₂、E₁E₂。
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图3所求三角形DEF的周长就退换成DE₁+DF+FE₂的长度。
由于两点之间线段最短，很昭彰：
那E₁E₂的值奈何求呢？
由于E其实亦然动点，那么当E通顺的时候，E₁E₂的长度亦然动态变化的，那也可能存在最值，什么时候E₁E₂最短呢？
题目中还有几个要求没用上呢。
如图，咱们和洽AE₁、AE₂、AE，凭证对称性，咱们不错知谈：
因此，三角形AE₁E₂其实是一个顶角为120°的等腰三角形。
那这么就容易雄厚了。
线段E₁E₂的长度依赖于AE的长度，咱们就将题目滚动为求AE的最小值。
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图4由于点到直线之间垂线最短。
咱们过A点作BC的垂线，当E为垂足时，AE最短。
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图5
由于∠C=180°-60°-75°=45°，AB=10，
是以三角形ABE是等腰直角三角形，因此：
此时：
所求最小值等于，终了。
这类题目，如若无谓将军饮马来措置，规划量就很大。
不错检讨动图直不雅感受下：
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图6示例2❝如图所示，正方形ABCD的边长为2，AE=BF，求DE+DF的最小值。
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图7❞解题流程分析此题，存在E和F两个动点，这似乎和将军饮马模子不大匹配呢，另外，两个定点要奈何细则呢？
由于题目告诉咱们AE=BF，那这两个动点似乎是正关系的，其实就终点于一个动点。
由于正方形的边齐十分，咱们不错利用三角形全等，将看起来没关联的线段关联起来。
如下图：
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图8咱们和洽AF，凭证SAS全等，不错知谈：
因此，AF=DE。
这么，咱们就不错将A和D作为定点，F这个动点就在BC上挪动。
咱们作A点对于BC轴的对称点A'，和洽FA'和DA'。
很昭彰，AF=A'F，
因此，所求最小值就退换成了求FA'+DF的值。
很昭彰，当D、F、A'三点共线时，地方的线段长度最短，其实也等于DA'的长度。
凭证勾股定理，DA'的长度等于：
因此，所求最小值等于。
胡不归模子胡不归模子的动点在直线上，和将军饮马比较，等于多了所有。而阿氏圆模子和胡不归不同的是其动点在圆上。
示例1❝在三角形ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2。若点D是BC上的动点，则2AD+DC的最小值是些许。
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图9❞解题流程胡不归和将军饮马比较访佛，要道在于胡不归的某个线段前边带了一个所有，比喻本题中的2AB+DC。
由于2比1大，咱们就需要退换一下。比喻索要2，从而将所有周折到DC上，从而和角度的正余弦联结起来，退换为两点距离或点线距离之类的基本类型。
羁系到∠C=30°，在此类直角三角形中，短直角边刚好是斜边的一半。
因此，此题咱们不错退换为求AD+0.5DC的最小值。
如图所示，咱们过D点作AC的垂线，垂足为E，和洽DE。
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图10很昭彰，。
这里，咱们应用下将军饮马，作E点对于BC的对称点E'。
和洽CE'、DE'、AE'，有DE=DE'。
在三角形ADE'中，很昭彰：
由于D是动点，那么AE'的长度亦然变化的，当点D处于什么位置的时候，AE'最短呢？
咱们仔细不雅察，在三角形ACE'中，边AC的长度是固定的，∠ACE'=60°，因此，当AE'⊥CE'的时候，AE'最短。
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图11此时，
是以，所求最小值为6，终了。
示例2❝在棱形ABCD中，∠D=120°，AB=3，P为对角线AC上一动点，求0.5PA+PB的最值。
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图12❞解题流程此题和题目二一样。
由于存在30°稀奇角，因此PA的一半很容易抒发出来。
咱们过P点作AD的垂线，垂足为E，和洽BE、PE。
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图13很昭彰，
当E、P、B三点共线时取等号。
因此，题目就退换为求BE的最小值。
同理，p为动点，BE什么时候最短呢？
在三角形ABE中，AB定长，∠BAE=60°。
因此，。
所求最小值等于。
当E和A、D叠加时，取最大值为3。
示例3❝在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，求：
的最小值。
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图14❞解题流程本题中的比较突兀，况兼比1大，咱们奈何将其和角度关联起来呢？
咱们将索要出来，将问题退换为：
看到，咱们是不是不错思到一个直角三角形，长直角边是短直角边的2倍，这么小角的正弦值等于这个。
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图15咱们延迟CB到点E，使AB=2BE，那么：
从而：
从而，原题退换为求CD+DF的最小值。
由于点C固定，DF⊥AE，很昭彰：
也等于点C到线段AE的垂线最短。
凭证面积关系，有：
是以，所求最小值为10，终了。
费马点模子在费马点模子中，三角形扫数的角必须小于120°，不然，费马点就在角度最大的顶角上。
示例1❝正方形ABCD边长为2，M为对角线BD上的一个动点，求DM+2CM的最小值。
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图16❞解题流程此题中的两倍CM奈何来暗示呢？
羁系到对角线的对称性，咱们和洽AM和AC，
此题就退换成：
❝M为三角形ABC中的小数，求该点到三个极点距离之和的最小值。
❞这等于比较典型的费马点问题。
咱们以MB为边作等边三角形，以AB为边作等边三角形，两个等边三角形标的齐一致。
其实，亦然将三角形AMB往左旋转60°到FEB。
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图17不错看到，
凭证三角形SAS全等关系，，
是以，。
是以，
不错看到，岂论M点奈何动，CF老是固定的。
不错看到，在三角形BCF中，
不错看到：
15°其实亦然稀奇角，如若知谈就不错径直写出谜底。
如若不知谈，咱们不错过F点作BC延迟线上的垂线，垂足为G点，和洽FG、BG。
不错得回一个稀奇的直角三角形BGF，其中∠FBG=30°。
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图18因此，凭证勾股定理，有：
此时BD和CF的夹角等于：
终了。
阿氏圆阿氏圆的动点轨迹在圆上，这点和胡不归不一样。
示例1❝如图，在直角三角形ABC中，AB=AC=4，AE=AF=2，点P是扇形AEF的弧EF上的苟且小数，和洽BP、CP，求的最小值。
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图19❞解题流程因为遭殃到圆，咱们优先利用阿氏圆的性质来措置。
联结阿氏圆的表率图，圆心咱们是细则了，由于遭殃到PB的一半，软件开发公司那咱们就将点B作为其中一个定点，那咱们需要细则另外一个定点的位置。
奈何细则另一个定点的位置呢？这里不大便捷用角瓜分线，那咱们就用相似三角形。
假定所求的另一个定点是点D，那么，凭证相似三角形的性质和k的值，咱们有：
是以，不错得回：
因此，咱们就细则了点D的位置。
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图20满足阿氏圆的关系性质：
因此，原题就退换成了求PD+PC的最小值。
很昭彰，两点之间直线最短，此时C、P、D三点共线。
因此，所求最小值等于：
终了。
示例2❝如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，F是BE的中点，P点在圆心为B、半径为BE的圆上，求的值。
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图21❞解题流程此题略微不同，PA和PF齐带有所有，况兼图形基于轴BD对称。
由于点P为圆上的动点，那咱们优先用阿氏圆来措置。
如若将A作为定点，将AB上的G点作为另一个定点，凭证三角形相似的性质，有：
从而，咱们细则了G点的位置。
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图22凭证三角形相似关系，有：
从而得回：
同理，咱们将点C和点F作为定点，再一次利用下阿氏圆。
因此，也存在：
从而，不错得回：
因此，所求等价于：
当点C、P、G三点共线时取最小值，此时，凭证勾股定理，最小值为：
终了。
示例3❝如图所示，在三角形ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，圆A的半径为6，P是圆A上的一个动点，和洽PB、PC，求3PC+2PB的最小值。
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图23❞解题流程这里因为AC的值还需要另算，而AB已知，那咱们先将点B作为定点，线段AB上的点D作为另一个定点，则有：
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图24
由于：
那么：
在三角形BCD中，如若学过余弦定理，那么就可径直求出CD。
如若没学过，咱们就刚好不错凭证勾股定理来求。
那么，所求最小值等于3x7=21。
有点凑巧，比预感的简便一些。
瓜豆模子示例1❝如图所示，三角形ABC是边长为4的等边三角形，E是AC的中点，D是直线BC上的一个动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°得回EF，求AF的最小值。
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图25❞解题流程很昭彰，当点D挪动时，点F随着挪动，D是主动点，F是从动点。
由于点D是在线段上挪动，那么点F的通顺轨迹亦然一条线段。
在草稿纸上作图的时候，咱们接头将D点挪动到C点，那么F点在边AC的中垂线上，EF为边AC的一半，然后将两点一连，就不错画出F点的通顺轨迹地方的直线。
但此题也不错走正规小数的道路，由于AE⊥AC、DE⊥EF，是以∠BED=∠CEF，
又由于DE=EF，其实咱们是完完好整地将三角形BDE逆时针旋转了90°，终点于将BD旋转了90°，那么F点的轨迹就和BD垂直。
如图所示：
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图26咱们和洽BE、延迟EC到G点，确保EB=EG，和洽GF并延迟到I点，确保GI⊥AI。
凭证三角形SAS关系，咱们不错细则：
因此，不错细则：
因此，当AF⊥GF时最短，此时F点和I点重合。
在直角三角形AGI中，由于存在30°锐角，
终了。
动画演示领域如下：
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图27.
示例2❝如图所示，正方形ABCD边长为4，G为边BC上的动点，E为DG的中点。AG⊥A'G且AG=A'G。
求GA'的最小值。
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图28❞解题流程当G点挪动的时候，A'点随着挪动，因此G为主动点，A'为从动点。
由于G在线段BC上挪动，那么A'亦然在线段上挪动。
那奈何细则A'的挪动轨迹呢？
如若咱们将G挪动到B点，很昭彰，A'点和C点叠加。如若咱们将G挪动到C点，很昭彰，A'点就到了直线AD上，况兼DA'=DA。
因此，咱们和洽AA'、CA'。
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图29这里不大好办的是，当A'点挪动的时候，E点也随着挪动，跟前边列举的几个模子齐不大匹配。
咱们不错设BG=a去规划，也不错用设∠BAG=α用三角函数去规划。
这里咱们选择前一种。
如若利用勾股定理去规划，那咱们就需要将两个直角边作出来。
如图所示：
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图30咱们过A'、E点作BC的垂线，诀别交BC和其延迟线于F和H。
和洽A'F、EH、CF。
过A'作EH的垂线，垂足为I，和洽IH。
不错看到，咱们不错利用直角三角形EIA'，将其斜边EA'求出来。
依题意，由于：
是以，。
凭证ASA关系，不错阐述：
因此，BG=FA',AB=FG=BC。
由于BC和FG共CG，是以CF=BG=FA'=a。
由于IHFA'是矩形，是以IH=FA'。
由于E是DG中点，EH//DC，是以EH是三角形DGC的中位线，
是以：
上升选手之中李淑瑛在女子韩巡乐天公开赛中并列位于39位，获得0.62分，世界排名从368位上升到354位。
是以：
凭证勾股定理：
很昭彰，当的时候取最小值。
此时：
所求最小值等于。
这个例子举得不大好，天然是瓜豆模子，但解答流程没用向前边所波及的模子。
隐圆模子隐圆比较迷糊，未必候需要经过求证才气发现，未必候就径直控制圆的一些基人性质就不错细则。
示例1❝如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，E、F是边AD上的两个动点，况兼AE=DF。
和洽CF交BD于G，和洽BE交AG于H，求线段DH的最小值。
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图31❞解题流程此题守秘了一个圆。
凭证SAS关系，咱们不错细则：
从而不错阐述∠EAH=∠ABE。
从而不错细则：
从而，不错阐述AG⊥BE。
从而，不错细则一个以AB为直径的圆。
如图所示：
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图32咱们以AB为直径作圆，其圆心为O，和洽OH和OD，不错看到，动点H的通顺轨迹其实是圆。
因此，当DH经过圆心O的时候，DH最短。
此时：
示例2❝如图，在长方形ABCD中，AD=12，AB=8，E是边AB上的小数，BE=3，F是边BC上的一个动点。
若将三角形EBF沿着EF对折后，点B落在了点P处，求DB的最小距离。
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图33❞解题流程此题也守秘了一个圆。
圆心是定点E，半径是定长EB，当F点通顺时，P点就沿着该圆通顺。
如图：
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图34咱们以E为圆心，EB为半径画圆，并和洽DE。
不错看到，当D·、P、E三点共线时，DP最短。
此时：
终了。
示例❝如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠B=60°，∠D=30°。
（1）和洽BD，探究AD、BD、CD三者之间的数目关系，并讲明。
（2）若AB=1，点E在四边形ABCD里面通顺，且满足，求点E通顺道径的长度。
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图35❞解题流程咱们刚到∠B和∠C的关系，就要思到圆心角和圆周角的关系，
为了让它俩落在一个圆内，咱们作B点对于AC的对称点O。
不错看到，A、C、D三点共圆，圆心为O，
相似，A、B、C三点共圆，圆心不错是A，也不错是C。
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图36（1）探究三条线段之间的关系，第一直观等于以为它们可能满足勾股关系。
那奈何将这三条线段搞到一个直角三角形中去呢？
由于三角形ABC是一个等边三角形，如若咱们将三角形BCD逆时针旋转60°，如图所示：
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图37凭证全等关系，有：
由于：
是以，不错细则：
由于BD=BD’，是以，三角形BDD’是等边三角形。
是以BD=DD'。
是以，在直角三角形DAD'中，存在：
也等于：
（2）如若E是里面小数，如若要满足的关系，
那咱们也需要找到一个直角三角形，参考第一问，咱们不错将三角形BEC逆时针旋转60°到BE'A。
如图所示：
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图38
凭证三角形全等关系和等边三角形BEE'，有：
因此，此时的E点就满足：
也等于：
此时的∠BE'A总满足：
也等于说，∠BEC亦然个定角，恒满足：
定边对顶角，讲明点E的通顺轨迹也在一段圆弧上。
那圆心和半径奈何细则呢？
接头到在圆的内接四边形中，对角互补的关系，咱们不错发现，BC弦所对的另一个角刚巧是30°，
因此，BC弦所对的圆周角是60°,假定圆心为A'，则三角形BA'C亦然等边三角形，
因此，圆的半径为1,
是以，E点的通顺轨迹等于一段圆弧，其通顺道径的长度等于：
终了。
这个例子仅仅波及到了隐圆，和最值也没太大的关系。
其他其他的模式灵验三角函数转不等式，也灵验函数关系转韦达定理的，限于篇幅，这里就不再列举了。
跋文本文所援用的例子，部分是网友们商量的，部分是从网上搜索的。
由于手头例子比较垂死，加上时辰比较匆促，所援用的个别例子作念完后才发现和主题不大匹配，全球权且望望哈。
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